1. அவர்கள் டிஜிட்டல் கையொப்பங்களையும் அறிமுகப்படுத்தினர் மற்றும் எண் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்த முயன்றனர்.

1. They also introduced digital signatures and attempted to apply number theory.

2. மற்றும் வழக்கமான எண் கோட்பாடு... சார்பியல் ஆய்வின் முகத்தில் சரிகிறது.

2. and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

3. 1175-1200 — இடைக்காலத்தில் மேற்கு ஐரோப்பாவில் எந்த எண் கோட்பாடும் செய்யப்படவில்லை.

3. 1175–1200 — no number theory to speak of was done in western Europe during the Middle Ages.

4. வரலாற்றில் இரண்டு தனித்துவமான தருணங்கள் எண் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சியில் திருப்புமுனைகளாக நிற்கின்றன.

4. two distinct moments in history stand out as inflection points in the development of number theory.

5. 1896 ஆம் ஆண்டில், அவர் எண்களின் வடிவவியலை வழங்கினார், இது எண் கோட்பாட்டின் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் வடிவியல் முறை.

5. in 1896, he presented his geometry of numbers, a geometrical method that solved problems in number theory.

6. எண் கோட்பாட்டில், காஸியன் முழு எண் என்பது ஒரு சிக்கலான எண்ணாகும், அதன் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகள் முழு எண்களாகும்.

6. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary part are both integers.

7. எண் கோட்பாட்டில், காஸியன் முழு எண் என்பது ஒரு சிக்கலான எண்ணாகும், அதன் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகள் முழு எண்களாகும்.

7. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers.

8. பின்னர் விண்வெளி நேரத்தில் ஒருமைப்பாடு... மற்றும் வழக்கமான எண் கோட்பாடு... சார்பியல் ஆய்வு முகத்தில் சரிந்து.

8. singularities in space-time then… and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

9. ரீமான் ஜீட்டா செயல்பாடு பகுப்பாய்வு எண் கோட்பாட்டில் ஒரு அடிப்படை பாத்திரத்தை வகிக்கிறது மற்றும் இயற்பியல், நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் பயன்பாட்டு புள்ளியியல் ஆகியவற்றில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

9. the riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory and has applications in physics, probability theory, and applied statistics.

10. எனவே, ரீமான் ஜீட்டா செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள், ஒருமைப்பாடுகளுக்கு... விண்வெளி நேரத்தில், விண்வெளி நேரத்தின் ஒருமைப்பாடுகளுக்கும், வழக்கமான எண் கோட்பாட்டிற்கும் ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம்.

10. so, we see that the- the zeroes, of the reimann zeta function, correspond to singularities… in space-time, singularities in space-time- and conventional number theory.

11. மறுபுறம், கணிதத்தில் அடிப்படை ஆராய்ச்சி கடந்த தசாப்தங்களாக மிகப்பெரிய அளவில் முன்னேறியுள்ளது, இதையொட்டி மிகவும் ஆச்சரியமான பயன்பாடுகளுக்கு வழி திறக்கிறது, எ.கா. குறியாக்கவியலில் எண் கோட்பாடு/இயற்கணித வடிவியல்.

11. on the other hand, basic research in mathematics has made enormous progress in the past decades, in turn paving the way for some very surprising applications, e.g. number theory/ algebraic geometry in cryptography.