1. انہوں نے ڈیجیٹل دستخط بھی متعارف کروائے اور نمبر تھیوری کو لاگو کرنے کی کوشش کی۔

1. They also introduced digital signatures and attempted to apply number theory.

2. اور روایتی نمبر تھیوری... رشتہ داری کی تلاش کے سامنے ٹوٹ پھوٹ کا شکار ہو جاتی ہے۔

2. and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

3. 1175-1200 - قرون وسطی کے دوران مغربی یورپ میں بات کرنے کے لیے کوئی نمبر تھیوری نہیں کی گئی۔

3. 1175–1200 — no number theory to speak of was done in western Europe during the Middle Ages.

4. تاریخ میں دو الگ الگ لمحات نمبر تھیوری کی ترقی میں اہم موڑ کے طور پر کھڑے ہیں۔

4. two distinct moments in history stand out as inflection points in the development of number theory.

5. 1896 میں، اس نے اعداد کی اپنی جیومیٹری پیش کی، ایک ہندسی طریقہ جو کہ نمبر تھیوری کے مسائل کو حل کرتا ہے۔

5. in 1896, he presented his geometry of numbers, a geometrical method that solved problems in number theory.

6. نظریہ نمبر میں، گاوسی انٹیجر ایک پیچیدہ عدد ہے جس کے حقیقی اور خیالی حصے انٹیجر ہیں۔

6. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary part are both integers.

7. نظریہ نمبر میں، گاوسی انٹیجر ایک پیچیدہ عدد ہے جس کے حقیقی اور خیالی حصے انٹیجر ہیں۔

7. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers.

8. پھر اسپیس ٹائم میں یکسانیتیں... اور روایتی نمبر تھیوری... رشتہ داری کی تلاش کے سامنے منہدم ہو جاتی ہیں۔

8. singularities in space-time then… and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

9. ریمن زیٹا فنکشن تجزیاتی نمبر تھیوری میں بنیادی کردار ادا کرتا ہے اور اس کا طبیعیات، امکانی نظریہ، اور لاگو شماریات میں اطلاق ہوتا ہے۔

9. the riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory and has applications in physics, probability theory, and applied statistics.

10. لہذا ہم دیکھتے ہیں کہ ریمن زیٹا فنکشن کے زیرو، واحدیت کے مساوی ہیں... اسپیس ٹائم میں، اسپیس ٹائم میں واحدیت کے ساتھ- اور روایتی نمبر تھیوری سے۔

10. so, we see that the- the zeroes, of the reimann zeta function, correspond to singularities… in space-time, singularities in space-time- and conventional number theory.

11. دوسری طرف، ریاضی میں بنیادی تحقیق نے پچھلی دہائیوں کے دوران بہت زیادہ ترقی کی ہے، جس کے نتیجے میں بہت ہی حیران کن ایپلی کیشنز کا راستہ کھلا ہے، جیسے کرپٹوگرافی میں نمبر تھیوری/الجبری جیومیٹری۔

11. on the other hand, basic research in mathematics has made enormous progress in the past decades, in turn paving the way for some very surprising applications, e.g. number theory/ algebraic geometry in cryptography.