1. వారు డిజిటల్ సంతకాలను కూడా ప్రవేశపెట్టారు మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నించారు.

1. They also introduced digital signatures and attempted to apply number theory.

2. మరియు సంప్రదాయ సంఖ్య సిద్ధాంతం... సాపేక్ష అన్వేషణలో విరిగిపోతుంది.

2. and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

3. 1175-1200 — మధ్య యుగాలలో పశ్చిమ ఐరోపాలో సంఖ్యా సిద్ధాంతం గురించి మాట్లాడలేదు.

3. 1175–1200 — no number theory to speak of was done in western Europe during the Middle Ages.

4. చరిత్రలో రెండు విభిన్న క్షణాలు సంఖ్యా సిద్ధాంతం అభివృద్ధిలో కీలక మలుపులు.

4. two distinct moments in history stand out as inflection points in the development of number theory.

5. 1896లో, అతను తన సంఖ్యల జ్యామితిని సమర్పించాడు, ఇది సంఖ్య సిద్ధాంత సమస్యలను పరిష్కరించే రేఖాగణిత పద్ధతి.

5. in 1896, he presented his geometry of numbers, a geometrical method that solved problems in number theory.

6. సంఖ్య సిద్ధాంతంలో, గాస్సియన్ పూర్ణాంకం అనేది సంక్లిష్ట సంఖ్య, దీని వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు పూర్ణాంకాలు.

6. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary part are both integers.

7. సంఖ్య సిద్ధాంతంలో, గాస్సియన్ పూర్ణాంకం అనేది సంక్లిష్ట సంఖ్య, దీని వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు పూర్ణాంకాలు.

7. in number theory, a gaussian integer is a complex number whose real and imaginary parts are both integers.

8. తర్వాత స్థల-సమయంలో ఏకవచనాలు... మరియు సంప్రదాయ సంఖ్య సిద్ధాంతం... సాపేక్ష అన్వేషణ నేపథ్యంలో పతనమవుతాయి.

8. singularities in space-time then… and conventional number theory… it breaks down in the face of relativistic exploration.

9. రీమాన్ జీటా ఫంక్షన్ విశ్లేషణాత్మక సంఖ్య సిద్ధాంతంలో ప్రాథమిక పాత్రను పోషిస్తుంది మరియు భౌతికశాస్త్రం, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు అనువర్తిత గణాంకాలలో అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది.

9. the riemann zeta function plays a pivotal role in analytic number theory and has applications in physics, probability theory, and applied statistics.

10. కాబట్టి రీమాన్ జీటా ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు ఏకవచనాలకు... స్థల-సమయంలో, స్థల-సమయంలోని ఏకవచనాలకు మరియు సాంప్రదాయ సంఖ్య సిద్ధాంతానికి అనుగుణంగా ఉన్నాయని మనం చూస్తాము.

10. so, we see that the- the zeroes, of the reimann zeta function, correspond to singularities… in space-time, singularities in space-time- and conventional number theory.

11. మరోవైపు, గణితశాస్త్రంలో ప్రాథమిక పరిశోధన గత దశాబ్దాలుగా అపారంగా పురోగమించింది, ఇది చాలా ఆశ్చర్యకరమైన అప్లికేషన్‌లకు మార్గం తెరిచింది, ఉదా. గూఢ లిపి శాస్త్రంలో సంఖ్య సిద్ధాంతం/బీజగణిత జ్యామితి.

11. on the other hand, basic research in mathematics has made enormous progress in the past decades, in turn paving the way for some very surprising applications, e.g. number theory/ algebraic geometry in cryptography.